Intervalo de variación

En el apartado anterior hemos visto cómo se calcula la media de una serie de valores. Sin embargo, este valor por sí mismo no informa sobre la dispersión de aquellos, es decir, las variaciones que existen entre las diferentes medidas utilizadas para calcular la media. Una de las posibles formas de evaluar la dispersión es el intervalo de variación. Este consiste en la diferencia entre el valor más alto y el más bajo de la serie de números que se están considerando. Por ejemplo, en las medidas de la DBO5 contenidas en la tabla 10.8, los intervalos de valores para invierno y verano serán, respectivamente:

Invierno:
Valor máximo = 100 mg/l.
Valor mínimo = 40 mg/l.
Intervalo de valores = 100-40 = 60 mg/l.

Verano:
Valor máximo = 30 mg/l.
Valor mínimo = 10 mg/l.
Intervalo de valores = 30 - 10 = 20 mg/l.

Por consiguiente, los datos recogidos en verano presentan una dispersión menor.


Varianza y desviación típica

Otra medida de la dispersión de un grupo de valores la proporciona el cálculo de su varianza y desviación típica. Cuando se conoce la media e intervalo de variación se tiene una cierta idea sobre las características de ese conjunto de valores, pero no hay forma de averiguar si estos valores se concentran en la parte central del intervalo o en los extremos de éste, es decir, no se conoce su distribución en dicho intervalo.

Consideremos como ejemplo el caso siguiente: se ha medido la DQO a la salida de dos lagunas facultativas durante dos semanas, con los resultados que se recogen en la tabla 10.9. Con objeto de presentar unos valores que representen todas las medidas llevadas a cabo sin tener que manejar todos los datos, lo que es muy engorroso, se han calculado los valores medios y la dispersión de los dos conjuntos de medidas. Los resultados son los siguientes:

Conjunto de medidas A:

Media = 50 mg/l.
Intervalo de variación = 50 mg/l.

Conjunto de medidas B:

Media = 50 mg/l.
Intervalo de variación = 50 mg/l.

Es decir, estas dos medidas no son suficientes para informar sobre la diferente distribución de los valores en uno y otro conjunto de muestras. Como puede observarse en la tabla 10.9, los valores correspondientes a la laguna A son mucho más uniformes, y sólo dos de ellos están situados en los extremos del intervalo de valores. Sin embargo, la laguna B presenta una dispersión mucho mayor, con altibajos continuos en los valores de la DQO a la salida.

TABLA 10.9
Medidas diarias de DQO a la sadida de dos lagunas facultativas

Las medidas que pueden proporcionar esta información sobre la distribución de los valores son la varianza y la desviación típica. La varianza se calcula hallando las diferencias que existen entre cada valor y la media, sumando estas diferencias y elevándolas al cuadrado para evitar que se compensen aquellas que tengan distinto signo, y por último dividiendo la suma obtenida por el número de valores menos uno, tal como indica la ecuación siguiente:

S²= S(X-Xm)² / [N-1]

donde
S² = varianza;
X = cada uno de los valores del conjunto;
Xm= media aritmética del conjunto de valores; y
N = número total de valores.

Aplicando esta definición al ejemplo anterior, la varianza de los resultados corres-pondientes a la laguna A y B sería la siguiente:


SA² = 123 (mg/l)²;

SB² = 507 (mg/l)²;

Es decir, la dispersión es mayor en los resultados correspondientes a la salida de la laguna B.

Muchas veces la dispersión se expresa por medio de la desviación típica, S, que es la raiz cuadrada de la varianza. Para el ejemplo anterior, la desviación típica seria:


SA= 11,1 mg/l;

SB = 22,5 mg/l;


Mediana y moda

En algunos casos la media aritmética da una idea poco realista del conjunto de valores a los que representa. Por ejemplo, pensemos en una laguna de estabilización que está proyectada para recibir exclusivamente las aguas residuales urbanas de un pueblo. Durante la primera quincena del mes de julio se han hecho unas pruebas en el matadero local, y accidentalmente se ha vertido agua fuertemente contaminada a la red municipal. Los valores de la DQO durante esas dos semanas a la entrada de la planta se recogen en la tabla 10.10. Como puede verse, uno de estos resultados es extremadamente alto, y corresponde al vertido accidental de efluentes y matadero.

TABLA 10.10
Demanda química de oxígeno a la entrada a la planta de tratamiento

Si calculamos la media aritmética de estas medidas, obtenemos un valor de 492 mg/l, que como puede verse es unas dos veces superior a todos los valores de la tabla, con la excepción del correspondiente al día del accidente. Para evitar la utilización de un valor medio poco realista, en estos casos es conveniente el uso de la mediana. La mediana se define como el valor central de un conjunto ordenado en forma creciente o decreciente. En el ejemplo anterior, si colocamos los números en orden creciente tendremos:

TABLA 10.11
Demanda química de oxigeno a la entrada a la planta de tratamiento. Valores ordenados en forma creciente

Puesto que el número total de datos es par, hay dos valores que ocupan la posición central, es decir, los valores 7 y 8 en la tabla anterior. La mediana se calcula como la media aritmética de estos dos valores. En este caso los dos valores son iguales, de 250 mg/l, por lo que su media es también 250 mg/l.

Otra medida que puede resultar útil es la moda. La moda se define como el valor que más se repite en un conjunto de valores. En el ejemplo anterior la moda es 250 mg/l, que se repite cinco veces. Puede haber más de una moda en una serie de datos, si más de uno de ellos se repite el mismo número máximo de veces.


Cálcalo del rendimiento

La evaluación del buen funcionamiento de una planta depuradora por lagunaje se lleva a cabo mediante dos procedimientos:

a) Indicar el valor del contenido de la materia orgánica u otras variables (oxigeno disuelto, materia en suspensión, nutrientes, coliformes) a la salida de la planta.

b) Calcular el porcentaje en la reducción de alguna de las variables de interés.

Cuando se utiliza el segundo procedimiento se está utilizando el concepto de rendimiento de la depuración. Normalmente el rendimiento se calcula sobre la materia orgánica expresada como DBO5, aunque se puede hablar también del rendimiento en la reducción de nutrientes u otra variable.

La reducción porcentual o rendimiento de la depuración se calcula en la forma siguiente:

Rendimiento = [(DBOent - DBOsal) / DBOent] · 100

donde DBOent es la demanda bioquímica de oxigeno de entrada a la planta y DBOsal es la demanda bioquímica de oxigeno a la salida. El mismo concepto puede aplicarse a cada una de las lagunas por separado para calcular el rendimiento de la depuración en las mismas.


Gráficos

Una de las formas de presentar los datos más fácil de interpretar y que más ayuda a entender lo que ocurre en una depuradora por lagunaje es la confección de gráficos. La presentación de resultados en gráficos permite ordenar fácilmente los resultados, que de otra forma se van amontonando en tablas de las que es difícil extraer conclusiones. En este apartado veremos dos tipos fundamentales de gráficos, que son los gráficos de barras y los lineales.


Gráficos de barras

En este tipo de gráficos se representa la frecuencia con que se repiten los resultados o intervalos de resultados. Esta modalidad de gráficos permite estudiar fácilmente las características de los datos que se van recogiendo, y en especial su dispersión y distribución.

Como ejemplo vamos a confeccionar gráficos de barras a partir de los datos recogidos en la tabla 10.9. Como vimos antes, estos resultados corresponden a los análisis de la DBO5 a la salida de dos lagunas facultativas A y B que presentan la misma media e intervalo de variación, pero sus varianzas son muy distintas. Vamos a ver ahora en qué forma un gráfico de barras ayuda a visualizar inmediatamente las diferencias entre los dos conjuntos de resultados.

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